https://github.com/smaeyama/mzprojection

Extracting and Modeling the Effects of Small-Scale Fluctuations on Large-Scale Fluctuations by Mori–Zwanzig Projection Operator Method

1. 개요

• 수식에서 직접 시뮬레이션한 데이터에 Mori-zwanzig formalism을 적용하여 small-scale variable의 영향을 제거하고 large-scale variable만 이용해서 표현하는 방법론을 제안함

2. 주요 개념

(1) Projection Operator, Complementary Projection Operator

• Projection Operator는 $\mathcal{P}$, Complementary Projection Operator는 $\mathcal{Q} = \mathcal{1 - P}$ 형태로 정의된다.
• 임의의 함수에 적용하게 되면, 각각 $\mathcal{P}f, \mathcal{f-Pf}$로 표기한다.

(2) Liouville Operator

• 어떤 functional of variable의 시간에 따른 진화(time evolution)을 표현하는 미분 연산자
• 정의는 $\mathcal{L} = \frac{d\hat u(t)}{dt}*\frac{\partial}{\partial \hat u(t)}$ 이므로, 함수 $\mathcal{f}$에 적용되면 다음과 같다.

$$ \mathcal{Lf} = \frac{d\hat u(t)}{dt} \cdot \frac{\partial}{\partial \hat u(t)}\mathcal{f} $$

• 예시

(3) Dyson formula

• 다음 식을 말한다.

$$ e^{t\mathcal{L}} = e^{t\mathcal{QL}} + \int_{0}^{t}ds e^{(t-s)\mathcal{L}}\mathcal{PL}e^{s\mathcal{QL}} $$