1. Logistic Map

$$ X_{n+1} = RX_n(1-X_n) $$

2. Return Maps & Bifurcation Diagram

• Time-domain Plot은 X축을 시간, Y축을 State Variable의 값으로 Trajectory path를 표시하는 그림

• Return Map은 State Variable의 연속적인 관계를 표시하는 그림

  • 초록색 선은 State Variable이 항상 동일한 지점이므로, fixed point
  • Correlation Plot, Cobweb Diagram이라고 부름

  

• 초기값 X0를 두면, Return Map을 이용해서 연속적인 값들을 그릴 수 있음

• Fixed Point에서의 Map의 기울기에 따라 Stable/Unstable이 나눠짐

3. Bifurcation Diagram

• ransient를 제거하고 파라미터 R에 따라서 계산되는 State Variable의 값을 그린 그림

(1) 분기가 일어나기 전

(2) 분기가 일어난 후

• 다음은 Logistic Map의 Bifurcation Diagram.

4. Feigenbaum and universality

• 파이겐바움 상수는 크게 2가지가 있으며, Quadratic maximum을 가지는 1차원 map에 대해서 모두 동일하다.

  $$ \delta = \lim_{n \to \infty } \frac{L_{n+1}-L_{n+2}}{L_n-L_{n+1}} = 4.669 $$