1. 개요

• 베이지안 필터링은 관측치를 통해서 상태 변수의 분포 $P(X_t|Y_{1:t})$를 추정하는 과정이다.

• 필터링 과정은 순차적으로 이루어진다. 즉, 다음과 같다.

  • Predict Step

  $$ P(X_{t-1}|Y_{1:t-1}) \rightarrow P(X_t|Y_{1:t-1}) $$

  • Update Step

$$ P(X_t|Y_{1:t-1}) \rightarrow +Y_t \rightarrow P(X_t|Y_{1:t}) $$

2. 필터링 상세 과정

(1) Predict Step

• 이전 단계까지의 관측치를 모두 활용하여 현재 상태의 확률 분포를 계산하는 작업. Update Step에서 현재 상태의 사전 확률 분포로 사용된다.

$$ P(X_t|Y_{1:t-1}) = \int P(X_{t-1}, X_t|Y_{1:t-1})dx_{t-1} = \int P(X_t|X_{t-1})P(X_{t-1}|Y_{1:t-1})dx_{t-1} $$

• $\int P(X_{t-1}, X_t|Y_{1:t-1})dx_{t-1} = \int P(X_t|X_{t-1})P(X_{t-1}|Y_{1:t-1})dx_{t-1}$

(2) Update Step

• 현 시점의 실제 관측치가 주어진 후, 현재 상태 변수의 사전 분포를 갱신하여 사후 분포를 계산하는 작업이다. 베이즈 정리에 따라서, 현재 상태의 사후 분포는 현재 시점의 가능도와 현재 상태의 사전 분포의 곱에 비례함을 알 수 있다.

$$ P(X_t|Y_{1:t}) \propto P(Y_t|X_t)\int P(X_t|X_{t-1})P(X_{t-1}|Y_{1:t-1})dx_{t-1} $$

3. 결론

• 필터링 과정에서 수치적으로 적분을 계산하기가 쉽지 않기 때문에, 몬테카를로 방법에 의한 근사치를 구하는 방법이 필요하다. 다음 예제를 수행하는데 30초의 계산 시간이 걸렸다.

4. 정규분포 랜덤워크 모델의 베이지안 필터링

• 정규분포 랜덤워크 모형을 베이지안 필터링하여 상태값의 분포를 추정해본다.