1. 정의

시간에 따른 상태 변화를 나타내는 모형을 Dynamic Model이라고 부르며, 그 중 하나가 바로 Stage Space Model
은닉 상태(State Variable)와 관측 심볼(Observation)이라는 두 가지 확률 과정으로 구성되는 모형이다.
t시점의 상태 변수를 $X_{t}$ 그리고 관측 데이터를 $Y_{t}$로 표시하며, 상태 변수는 관측되지 않기 때문에 관측 데이터를 사용하며 상태 변수를 추정해야 한다.

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2. 가정

(1) 현 시점의 상태 변수는 이전 시점의 상태 변수에만 의존한다.

$$ P(X_{t}|X_{t-1}, X_{t-2},\;..., \; X_{1}, X_{0}, Y_{t-1}, Y_{t-2},\;..., \; Y_{1}) = P(X_{t}|X_{t-1}) $$

(2) 관측 변수는 현 시점의 상태 변수에만 의존하는 조건부 확률 변수이다.

$$ P(Y_{t}|X_{t}, Y_{t-1}, X_{t-1},\;..., \; Y_{1}, X_{0}) = P(Y_{t}|X_{t}) $$

(3) 관측 변수 $Y_t|X_t$ 는 서로 독립이다.

$$ P(Y_{t},Y_{t-1}, \;..., \; Y_{1} | X_{t},X_{t-1}, \;..., \; X_{1} ) = P(Y_{t}|X_{t})P(Y_{t-1}|X_{t-1})...P(Y_{1}|X_{1}) = \prod_{i=1}^tP(Y_i|X_i) $$

4. 확률 분포 정의

상태 공간 모형에서 가장 중요한 문제는 잠재 변수인 상태 변수를 잘 추정하는 것이다.
- 잠재 변수의 분포는 사후 분포 형태로 주어지기 때문에, 상태 변수의 분포를 추정할 때 베이지안 추정을 하게 된다.
이 때, 다음 세 가지의 확률 분포가 필요하다.
- 최초의 상태 $X_{0}$에 관한 확률분포 $P(X_0)$
- 상태가 전이될 때의 확률분포 $P(X_{t}|X_{t-1})$
- 그리고 상태 $X_{t}$일 때 데이터 $Y_{t}$가 관측될 확률분포 $P(Y_{t}|X_{t})$