1. 개요

기상학 같은 경우는 다음과 같은 여러 가지 이유로 모든 지점의 실제 측정치를 얻을 수 없음
- 측정 장비 설치 비용
- 측정 장비를 설치할 수 있는 기술적인 문제
- 측정한 데이터를 활용할 떄 필요한 계산 비용
그렇기 때문에 측정 영역을 여러 개의 grid로 나누어서 필요한 데이터를 수집하는데, 위의 케이스에 해당하는 지점들은 보통 grid보다 적은 영역에 해당하므로 해당 grid 내에서 일어나는 움직임(=Sub-grid scale process)은 명확히 알 수 없음.
- 예를 들어, 해류의 움직임은 전 지구적으로 일어나므로 여러 개의 센서를 통해서 측정 가능
- 하지만 개별 지점 사이에서만 발생하는 움직임은 측정되지 않기에 알 수가 없음
문제는 그런 Sub-grid scale Process에서 일어나는 일이 해류의 움직임에 영향을 주게 됨
그래서 비교적 정확히 측정이 가능한 Large-scale variable로 subgrid-scale process의 움직임을 확률적으로 기술하는 것이 바로 Stochastic Parametrization

2. Lorenz 96 System & Stochastic Parmetrization

기상 현상을 기술하는 모형이며, Large Scale의 움직임을 기술하는 변수 X와 Small Scale의 움직임을 기술하는 변수 Y개의 미분방정식으로 구성됨

$$ \frac{dX_k}{dt} = -X_{k-1}(X_{k-2} - X_{k+1}) - X_k + F - \frac{hc}{b} \sum_{j=1}^{J} Y_{k,j}

\frac{dY_{k,j}}{dt} = -cb Y_{k,j+1}(Y_{k,j+2} - Y_{k,j-1}) - c Y_{k,j} + \frac{hc}{b} X_k

\begin{align*} &X_k: \text{Large-scale variable (slow dynamics)} \\ &Y_{k,j}: \text{Small-scale variable (fast dynamics)} \\ &F: \text{External forcing term} \\ &c, b, h: \text{Constants for coupling and scaling} \end{align*} $$

Stochastic Parameterization을 하게 되면 X를 이용해서 X에 주는 Y의 영향도를 매개변수화 하게 되며, 첫 번째 항의 수식만 필요해지고 다음처럼 기술됨

$$ \frac{dX_k^}{dt} = -X_{k-1}^(X_{k-2}^* - X_{k+1^}) - X_k^ + F - U_p(X_K^*) $$

여기서 Stochastic Parametrization은 다음처럼 deterministic과 stochastic으로 나눠지며, 확률적 noise를 변경하는 여러 방법이 존재

$$ U_p(X_k^*) = U_{det} + \epsilon(t) $$